Determine os domínios das funções vetoriais abaixo:
g(t)=\left(\sqrt{9-t^{2}}, \tan (t), \frac{1}{t}\right).

Passo 1

O enunciado apresenta a função vetorial
g(t)=\bigl(\sqrt{9-t^{2}},\,\tan(t),\,\tfrac{1}{t}\bigr)
e pede o domínio de g. Isso significa encontrar todos os valores de t em que cada componente está bem definida e, em seguida, tomar a interseção dessas condições.

Passo 2

A primeira componente é \sqrt{9-t^{2}}. Para a raiz quadrada de um número real estar definida, o radicando deve ser não-negativo:
9 - t^{2} \ge 0.
Resolvendo, obtemos
-3 \le t \le 3.

Passo 3

A segunda componente é \tan(t). A tangente de t não está definida quando \cos(t)=0, ou seja,
t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

A terceira componente é \tfrac{1}{t}. A divisão por zero é proibida, logo t \neq 0.

Passo 5

O domínio de g é a interseção das três condições acima:
-3 \le t \le 3,\quad t \neq 0,\quad t \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\;(k\in\mathbb{Z}).
Dentro de [-3,3], os valores de t que violam a condição da tangente são t=\pm\frac{\pi}{2} (pois \pm\frac{3\pi}{2} estão fora de [-3,3]). Portanto, o domínio fica

Resposta

\mathrm{Dom}(g) =\bigl[-3,3\bigr]\setminus\Bigl\{ -\tfrac{\pi}{2},\,0,\,\tfrac{\pi}{2}\Bigr\}.

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