Determine as derivadas das funções abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.\n
Informações dadas: a função é a soma de duas parcelas, uma linear e uma trigonométrica
. A tarefa é calcular a derivada (a taxa de variação) dessa função em termos de
.
Informações dadas: a função é a soma de duas parcelas, uma linear
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicados de forma simples):
Isto significa que posso derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.\n
onde
é uma constante. Ou seja, posso “puxar” constantes para fora da derivada.\n
Essas duas regras são muito úteis para fazer a conta de forma simples e direta.
Essas duas regras são muito úteis para fazer a conta de forma simples e direta.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.\n
Lembrete básico: a derivada de em relação a
é
, porque a inclinação da reta
é
. Usando a regra do fator constante com
e
,
Lembrete básico: a derivada de
Então a contribuição da primeira parcela para a derivada é
.
Passo 4
Derivada da função trigonométrica
.\n
É um resultado padrão (padrão porque é um dos derivados básicos que se decoram) que
É um resultado padrão (padrão porque é um dos derivados básicos que se decoram) que
Intuição rápida: ao variar
um pouco, o cosseno muda na direção oposta ao seno (por isso o sinal negativo). Se quiser, isso pode ser mostrado a partir do limite do quociente incremental, mas para provas é suficiente lembrar este resultado básico.
Passo 5
Aplicando a regra do fator constante à segunda parcela
:\n
com e
,
com
Portanto a contribuição da segunda parcela para a derivada é
.
Passo 6
Agora somo as contribuições (pela regra da soma): a derivada total é a soma de
e de
. Podemos usar esse resultado para avaliar a derivada em pontos se quiser — por exemplo, em
a derivada vale
. Respira, já estamos na resposta final.