Determine as derivadas das funções abaixo:
(a) f(x)=10 x+3 \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função \;f(x)=10 x+3 \cos (x).\n
Informações dadas: a função é a soma de duas parcelas, uma linear \;10x e uma trigonométrica \;3\cos(x). A tarefa é calcular a derivada (a taxa de variação) dessa função em termos de x.

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicados de forma simples):
\text{(i) Derivada da soma: } \frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Isto significa que posso derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.\n
\text{(ii) Regra do fator constante: } \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é uma constante. Ou seja, posso “puxar” constantes para fora da derivada.\n
Essas duas regras são muito úteis para fazer a conta de forma simples e direta.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \;10x.\n
Lembrete básico: a derivada de \;x em relação a x é 1, porque a inclinação da reta y=x é 1. Usando a regra do fator constante com c=10 e g(x)=x,
\frac{d}{dx}\big(10x\big)=10\cdot\frac{d}{dx}(x)=10\cdot 1=10.
Então a contribuição da primeira parcela para a derivada é \;10.

Passo 4

Derivada da função trigonométrica \;\cos(x).\n
É um resultado padrão (padrão porque é um dos derivados básicos que se decoram) que
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).
Intuição rápida: ao variar x um pouco, o cosseno muda na direção oposta ao seno (por isso o sinal negativo). Se quiser, isso pode ser mostrado a partir do limite do quociente incremental, mas para provas é suficiente lembrar este resultado básico.

Passo 5

Aplicando a regra do fator constante à segunda parcela \;3\cos(x):\n
com c=3 e g(x)=\cos(x),
\frac{d}{dx}\big(3\cos(x)\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=3\cdot\big(-\sin(x)\big)=-3\sin(x).
Portanto a contribuição da segunda parcela para a derivada é -3\sin(x).

Passo 6

Agora somo as contribuições (pela regra da soma): a derivada total é a soma de \;10 e de \;-3\sin(x). Podemos usar esse resultado para avaliar a derivada em pontos se quiser — por exemplo, em x=0 a derivada vale 10-3\sin(0)=10-0=10. Respira, já estamos na resposta final.

Resposta

10 - 3\sin(x)

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