Calcule as derivadas das funções abaixo:
q(x)=\sqrt{x} \cdot 7^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que sabemos:
  • A função dada é q(x)=\sqrt{x}\cdot 7^{x}.
  • A tarefa é calcular a derivada q'(x).
  • Observação sobre domínio: como aparece \sqrt{x}, a função está definida para x>0. Isso é importante para interpretar expressões como 1/\sqrt{x}.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): aqui temos um produto de duas funções de x. A regra que usamos é a regra do produto. Ela diz o seguinte:
\text{Se } f(x)=u(x)\,v(x), \text{ então } f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Nessa fórmula, u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. Vamos aplicar essa regra com u(x)=\sqrt{x} e v(x)=7^{x}.

Passo 3

Reescrever para facilitar o uso de regras padrão:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Então tome
u(x)=x^{1/2},\qquad v(x)=7^{x}.
Agora vamos achar u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{1/2} (regra da potência):
A regra da potência diz que, para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2},
u'(x)=\frac{1}{2}x^{\tfrac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui explicitamente x^{-1/2}=1/x^{1/2}=1/\sqrt{x}.

Passo 5

Derivada de v(x)=7^{x} (exponencial de base a):
A regra para exponenciais de base a>0 é
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aplicando com a=7,
v'(x)=7^{x}\ln 7.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
q'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que calculamos:
q'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;7^{x}+\sqrt{x}\;7^{x}\ln 7.
Essa é uma forma correta da derivada, já obtida pela aplicação direta das regras.

Passo 7

Opcional: simplificar fatorando 7^{x} e combinando termos para uma forma mais compacta. Colocando tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}:
q'(x)=7^{x}\!\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ln 7\right) =7^{x}\!\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2x\ln 7}{2\sqrt{x}}\right) =\frac{7^{x}\bigl(1+2x\ln 7\bigr)}{2\sqrt{x}}.
Lembrete: todas as transformações válidas para x>0.

Resposta

\displaystyle q'(x)=\frac{7^{x}\bigl(1+2x\ln 7\bigr)}{2\sqrt{x}}

Exercícios relacionados