Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos:
- A função dada é
. - A tarefa é calcular a derivada
. - Observação sobre domínio: como aparece
, a função está definida para . Isso é importante para interpretar expressões como .
Passo 2
Escolha do método (sem complicar): aqui temos um produto de duas funções de
. A regra que usamos é a regra do produto. Ela diz o seguinte:
Nessa fórmula,
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vamos aplicar essa regra com
e
.
Passo 3
Reescrever para facilitar o uso de regras padrão:
Então tome
Agora vamos achar
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
(regra da potência):
A regra da potência diz que, para qualquer expoente real ,
A regra da potência diz que, para qualquer expoente real
Aplicando com
,
Aqui explicitamente
.
Passo 5
Derivada de
(exponencial de base
):
A regra para exponenciais de base é
A regra para exponenciais de base
onde
é o logaritmo natural de
. Aplicando com
,
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
que calculamos:
Essa é uma forma correta da derivada, já obtida pela aplicação direta das regras.
Passo 7
Opcional: simplificar fatorando
e combinando termos para uma forma mais compacta. Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Lembrete: todas as transformações válidas para
.