Calcule as derivadas das funções abaixo no ponto x=1, usando as propriedades das derivadas:
di(x)=sen^3(x^2 pi3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
di(x) = sin^3!l(tfracx^2pi3r)
no ponto x=1.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções:
  • função externa v mapsto v^3,
  • função intermediária w mapsto sin(w),
  • função interna u(x) = tfracx^2pi3.

Passo 2

Vamos derivar passo a passo. Primeiro, defina
u(x) = x^2pi3, v(u) = sin(u), di(x) = [v(u(x))]^3
Pela regra da cadeia em cadeias múltiplas,
ddxdi(x) = 3,[v(u(x))]^2 cdot v'(u(x)) cdot u'(x)

Passo 3

Calcule u'(x). Como u(x)=tfracx^2pi3,
u'(x) = ddxl(x^2pi3r) = 2xpi3

Passo 4

Calcule v'(u). Como v(u)=sin(u),
v'(u) = cos(u)
Substituindo em ddxdi(x), temos
di'(x) = 3,[sin(u(x))]^2cdotcos(u(x))cdot2xpi3 = 2xpi;sin^2!l(tfracx^2pi3r);cos!l(tfracx^2pi3r)

Passo 5

Agora avalie em x=1. Nesse caso
u(1) = 1^2pi3 = pi3,
então
di'(1) = 2cdot1cdotpi;sin^2!l(tfracpi3r);cos!l(tfracpi3r) = 2pi;l(tfracraiz32r)^2;l(tfrac12r) = 2pi;34;12 = 3pi4

Resposta

di'(1) = 3pi4

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