Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos especificados.
f(x)=2 ln (x)-12 x^2 em x=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=2ln(x)-12x^2 no ponto x=2. Este problema envolve derivadas de funções logarítmicas e de potência, além da regra da soma.

Passo 2

Para derivar, aplicamos a regra da soma e as fórmulas básicas: a derivada de ln(x) é 1/x e, para um termo x^n, a derivada é n x^n-1. Reescrevemos 12x^2 como tfrac12 x^-2 para usar a regra do expoente.

Passo 3

Calculamos então as derivadas:

Passo 4

f'(x)=2cdot1x-ddxl(tfrac12 x^-2r)

Passo 5

A derivada de tfrac12 x^-2 é

Passo 6

ddxl(tfrac12 x^-2r)=tfrac12cdot(-2)x^-3=-x^-3=-1x^3

Passo 7

Logo,

Passo 8

f'(x)=2x-l(-tfrac1x^3r)=2x+1x^3

Passo 9

Agora avaliamos em x=2:

Passo 10

f'(2)=22+12^3=1+18=98

Resposta

f'(2)=98

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