Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.
y=a^x, se a=2,1 / 2, e (e=2,718 ldots)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função exponencial
y = a^x
para três valores de a: a=2, a=tfrac12 e a=e (onde eapprox2,718).
Conteúdo: estudo de funções da forma a^x. Vamos usar domínio, imagem, assíntota, comportamento para xtopminfty e alguns pontos-chave para cada caso.

Passo 2

Propriedades comuns a todas as funções y=a^x com a>0, aneq1:
  1. Domínio: todo R.
  2. Imagem: (0,infty).
  3. Assíntota horizontal: y=0.
  4. Passam por (0,1) pois a^0=1.

Passo 3

Gráfico de y=2^x (caso a>1, função crescente):
Escolhemos pontos
x&=-2,,-1,,0,,1,,2, 2^x&=2^-2=tfrac14,;2^-1=tfrac12,;2^0=1,;2^1=2,;2^2=4
Para xto+infty, 2^xto+infty; para xto-infty, 2^xto0^+.

Passo 4

Gráfico de y=l(tfrac12r)^x (caso 0<a<1, função decrescente):
Pontos escolhidos
x&=-2,,-1,,0,,1,,2, l(tfrac12r)^x&=l(tfrac12r)^-2=4,;l(tfrac12r)^-1=2,;l(tfrac12r)^0=1,;l(tfrac12r)^1=tfrac12,;l(tfrac12r)^2=tfrac14
Para xto+infty, l(tfrac12r)^xto0^+; para xto-infty, l(tfrac12r)^xto+infty.

Passo 5

Gráfico de y=e^x (caso especial de base eapprox2,718, também crescente):
Valores aproximados
x&=-1,,0,,1, e^x&approx e^-1approx0,37,;e^0=1,;e^1=eapprox2,718
Para xto+infty, e^xto+infty; para xto-infty, e^xto0^+. O crescimento de e^x é menos acentuado que 2^x, mas segue o mesmo tipo de curva crescente.

Resposta

Trace um sistema de eixos com assíntota horizontal y=0. Marque o ponto (0,1) nas três curvas.
  1. Em cor diferente, plote para y=2^x os pontos (-2,tfrac14), (-1,tfrac12), (1,2), (2,4) e una suavemente.
  2. Em outra cor, plote para y=(tfrac12)^x os pontos (-2,4), (-1,2), (1,tfrac12), (2,tfrac14) e una suavemente.
  3. Em terceira cor, plote para y=e^x os pontos (-1,0,37), (1,2,718) e una suavemente.
Isso constrói os três gráficos solicitados, destacando que
  • y=2^x e y=e^x são crescentes sobre R, com 2^x mais íngreme;
  • y=(tfrac12)^x é decrescente.

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