Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados, utilizando as proprieriades das derivadas:
cb(x)=x^3-2x+1 no ponto x=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a derivada da função $ c_{b}(x) = \frac{x^{3} - 2}{x + 1} $ no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos usar as propriedades das derivadas, especificamente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que compõem o quociente. Seja $ u(x) = x^{3} - 2 $ e $ v(x) = x + 1 $. A derivada de uma função quociente $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ é dada pela regra do quociente:
u(x) = x^3 - 2

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)
v(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
cb'(x) = 3x^2(x + 1) - (x^3 - 2)(1)(x + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
3x^2(x + 1) = 3x^3 + 3x^2
(x^3 - 2)(1) = x^3 - 2
Então, substituindo na derivada:
cb'(x) = 3x^3 + 3x^2 - x^3 + 2(x + 1)^2 = 2x^3 + 3x^2 + 2(x + 1)^2

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada no ponto $ x = 0 $:
x = 0

Resposta

A derivada de $ c_{b}(x) $ no ponto $ x = 0 $ é igual a $ 2 $.

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