Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\frac{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}{x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}{x}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para a raiz) e a regra do quociente.

Passo 2

Escrevemos f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com
u(x)=(2 x^{2}-2 x+1)^{1/2}, \quad v(x)=x.
A regra do quociente diz que
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Precisamos, então, de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Para u(x)=(g(x))^{1/2} com g(x)=2 x^{2}-2 x+1, a regra da cadeia dá
u'(x) =\frac{1}{2}\,(g(x))^{-1/2}\,g'(x) =\frac{1}{2}\,(2 x^{2}-2 x+1)^{-1/2}\,(4 x-2) =\frac{2 x-1}{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}.
Além disso, v'(x)=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{2 x-1}{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}\;x \;-\;\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}{x^{2}}.

Passo 5

Colocamos o numerador sob o mesmo denominador \sqrt{2 x^{2}-2 x+1}:
\frac{x(2 x-1)-(2 x^{2}-2 x+1)}{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}} =\frac{x-1}{\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}.
Logo
f'(x)=\frac{x-1}{x^{2}\,\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x-1}{x^{2}\,\sqrt{2 x^{2}-2 x+1}}.

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