Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(a+b x^{3}\right)^{1 / 3};

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(a + b\,x^{3}\bigr)^{1/3}
O conteúdo principal é a regra da cadeia, combinada com a derivada de uma potência.

Passo 2

Vamos identificar as funções interna e externa para aplicar a regra da cadeia. Definimos
u(x) = a + b\,x^{3},
que é a função interna, e
g(u) = u^{1/3},
que é a função externa. Logo, f(x) = g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna u(x). Como u(x)=a + b\,x^{3} e a,b são constantes,
u'(x) = 0 + b \cdot 3x^{2} = 3\,b\,x^{2}.

Passo 4

Agora derivamos a função externa g(u)=u^{1/3}. Usando a regra da potência,
g'(u) = \frac{1}{3}\,u^{-2/3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) = \frac{1}{3}\,\bigl(a + b\,x^{3}\bigr)^{-2/3}\,\cdot\,\bigl(3\,b\,x^{2}\bigr).
Fazendo a simplificação do 3 no numerador e denominador, obtemos
f'(x) = b\,x^{2}\,\bigl(a + b\,x^{3}\bigr)^{-2/3}.

Resposta

f'(x) = b\,x^{2}\,\bigl(a + b\,x^{3}\bigr)^{-2/3}.

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