Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\frac{4}{3}\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{1 / 4};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4}{3}\Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{1/4}
Usaremos a regra da cadeia para derivar a potência e, em seguida, a regra do quociente para derivar a razão \frac{x-1}{x+2}.

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=\frac{x-1}{x+2},
de modo que
f(x)=\frac{4}{3}\,u(x)^{1/4}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}\,u(x)^{-3/4}\,u'(x) =\frac{1}{3}\,u(x)^{-3/4}\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u(x)=\frac{x-1}{x+2} \qquad\Longrightarrow\qquad u'(x) =\frac{(1)(x+2)-(x-1)(1)}{(x+2)^{2}} =\frac{x+2 -x +1}{(x+2)^{2}} =\frac{3}{(x+2)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{-3/4}\!\cdot\frac{3}{(x+2)^{2}} =\Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{-3/4}\frac{1}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Para eliminar o expoente negativo, note que
\Bigl(\frac{x-1}{x+2}\Bigr)^{-3/4} =\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{3/4}.
Logo,
f'(x) =\frac{1}{(x+2)^{2}}\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{3/4} =\frac{1}{(x-1)^{3/4}\,(x+2)^{5/4}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{(x-1)^{3/4}\,(x+2)^{5/4}}.

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