Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{\left(1+x^{2}\right)^{3}}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}}}
usando a regra da cadeia. Vamos precisar da propriedade de potências (a^m)^n=a^{mn}, da regra do produto e, para funções compostas, da regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando potências:
\sqrt[3]{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{3}} =\bigl((1+x^2)^3\bigr)^{1/3} =(1+x^2)^{3\cdot\frac{1}{3}} =(1+x^2).
Assim
f(x)=\frac{x^3}{1+x^2} =x^3\,(1+x^2)^{-1}.

Passo 3

Aplicamos agora a regra do produto a
g(x)=x^3,\quad h(x)=(1+x^2)^{-1}.
Temos
g'(x)=3x^2
e, pela regra da cadeia,
h'(x) =-1\,(1+x^2)^{-2}\,\cdot(2x) =-2x\,(1+x^2)^{-2}.
Logo,
f'(x) =g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =3x^2\,(1+x^2)^{-1} +x^3\bigl(-2x\,(1+x^2)^{-2}\bigr).

Passo 4

Colocando em denominador comum e simplificando:
f'(x) =\frac{3x^2}{1+x^2}-\frac{2x^4}{(1+x^2)^2} =\frac{3x^2(1+x^2)-2x^4}{(1+x^2)^2} =\frac{3x^2+3x^4-2x^4}{(1+x^2)^2} =\frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2} =\frac{x^2\bigl(3+x^2\bigr)}{(1+x^2)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^2(3+x^2)}{(1+x^2)^2}.

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