Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(x^{2}\left(a-2 x^{3}\right)\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{2}(a-2x^{3})\bigr)^{2}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada a uma potência composta com um produto interno.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{2}(a-2x^{3}),
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,u(x)\,\bigl(u'(x)\bigr).

Passo 4

Agora vamos achar u'(x). Como u(x)=x^{2}\cdot(a-2x^{3}), usamos a regra do produto:
u'(x)=(x^{2})'\,(a-2x^{3})+x^{2}\,(a-2x^{3})'.
Sabendo que (x^{2})'=2x e (a-2x^{3})'=-6x^{2}, vem
u'(x)=2x\,(a-2x^{3})+x^{2}\,(-6x^{2}).

Passo 5

Vamos simplificar u'(x):
2x\,(a-2x^{3})=2ax-4x^{4}, \quad x^{2}(-6x^{2})=-6x^{4},
então
u'(x)=2ax-4x^{4}-6x^{4}=2ax-10x^{4}
e, fatorando 2x,
u'(x)=2x\,(a-5x^{3}).

Passo 6

Substituindo em f'(x)=2\,u(x)\,u'(x), obtemos
f'(x)=2\bigl[x^{2}(a-2x^{3})\bigr]\;\bigl[2x\,(a-5x^{3})\bigr].
Agrupando constantes e potências de x:
f'(x)=4x^{3}\,(a-2x^{3})\,(a-5x^{3}).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\,(a-2x^{3})\,(a-5x^{3}).

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