Calcule as derivadas das funçōes abaixo usando as regras de derivação:
f(x)=\frac{a}{x^{2 / x}}-\frac{b}{x \sqrt{x}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{a}{x^{2/x}}-\frac{b}{x\sqrt{x}}
O que vamos usar:
  1. Regras de potência com expoente variável (log-differentiation).
  2. Regra da potência comum para monômios.

Passo 2

Primeiro termo:
f_{1}(x)=\frac{a}{x^{2/x}}=a\,x^{-2/x}.
Para derivar y=x^{u(x)} com u(x)=-\tfrac{2}{x}, fazemos log-differenciação:
\ln y=u(x)\ln x=-\frac{2\ln x}{x}.
Derivando ambos os lados:
\frac{y'}{y} =\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{2\ln x}{x}\Bigr) =-2\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr) =-2\Bigl(\frac{1/x\cdot x-\ln x\cdot1}{x^{2}}\Bigr) =-2\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Logo,
y'=y\cdot\Bigl(-2\frac{1-\ln x}{x^{2}}\Bigr) =-2\,x^{-2/x}\,\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Portanto
f_{1}'(x) =a\,y' =-2a\,x^{-2/x}\,\frac{1-\ln x}{x^{2}} =\frac{2a(\ln x-1)}{x^{2}\,x^{2/x}}.

Passo 3

Segundo termo:
f_{2}(x)=-\frac{b}{x\sqrt{x}}=-b\,x^{-3/2}.
Aplicando a regra da potência,
f_{2}'(x) =-b\cdot\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)x^{-5/2} =\frac{3b}{2}x^{-5/2} =\frac{3b}{2x^{5/2}}.

Passo 4

Somando as derivadas:
f'(x)=f_{1}'(x)+f_{2}'(x) =\frac{2a(\ln x-1)}{x^{2}\,x^{2/x}}+\frac{3b}{2x^{5/2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2a(\ln x-1)}{x^{2+2/x}}+\frac{3b}{2x^{5/2}}.

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