Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(\frac{a x+b}{c}\right)^{3};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\left(\frac{a x + b}{c}\right)^{3}
usando a regra da cadeia. Aqui identificamos uma função composta: uma função interna e uma função externa.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{a x + b}{c}
e a função externa
g(u)=u^{3}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte. A derivada de u(x) em relação a x é
u'(x)=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{a x + b}{c}\biggr)=\frac{a}{c}.
A derivada de g(u) em relação a u é
g'(u)=3\,u^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot\frac{a}{c}.
Substituindo u(x)=\frac{a x + b}{c}, temos
f'(x) =3\left(\frac{a x + b}{c}\right)^{2}\cdot\frac{a}{c} =\frac{3a\,(a x + b)^{2}}{c^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3a\,(a x + b)^{2}}{c^{3}}.

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