Calcule as derivadas das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(\frac{a+b x^{n}}{a-b x^{n}}\right)^{m}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\Bigl(\frac{a + b\,x^{n}}{a - b\,x^{n}}\Bigr)^{m}
usando a regra da cadeia. O conteúdo envolve derivada de potência composta e derivada de quociente.

Passo 2

Definimos a função interior
u(x)=\frac{a + b\,x^{n}}{a - b\,x^{n}}
e escrevemos
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{m}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=m\,\bigl(u(x)\bigr)^{m-1}\,u'(x).

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra do quociente em
u(x)=\frac{N(x)}{D(x)},\quad N(x)=a + b\,x^{n},\quad D(x)=a - b\,x^{n}.
Temos
N'(x)=b\,n\,x^{n-1},\qquad D'(x)=-b\,n\,x^{n-1},
então
u'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}} =\frac{b\,n\,x^{n-1}(a - b\,x^{n}) - (a + b\,x^{n})(-b\,n\,x^{n-1})}{(a - b\,x^{n})^{2}}.
Agrupando termos iguais,
u'(x) =\frac{b\,n\,x^{n-1}\bigl[(a - b\,x^{n}) + (a + b\,x^{n})\bigr]}{(a - b\,x^{n})^{2}} =\frac{2\,a\,b\,n\,x^{n-1}}{(a - b\,x^{n})^{2}}.

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) em f'(x)=m\,u^{m-1}\,u':
f'(x) =m\;\Bigl(\frac{a + b\,x^{n}}{a - b\,x^{n}}\Bigr)^{m-1} \;\cdot\;\frac{2\,a\,b\,n\,x^{n-1}}{(a - b\,x^{n})^{2}}.
Reunindo potências de (a + b\,x^{n}) e (a - b\,x^{n}), obtemos a forma simplificada:

Resposta

f'(x) =\frac{2\,a\,b\,m\,n\,x^{n-1}\,(a + b\,x^{n})^{m-1}}{(a - b\,x^{n})^{m+1}}.

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