Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=g(a x+b);

Passo 1

O enunciado dá f(x)=g(a x+b) com g derivável em seu domínio e pede as derivadas de f. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que diz como derivar uma composição de funções.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=a x+b
para reescrever
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter a primeira derivada, temos
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como u'(x)=a, conclui-se
f'(x)=a\,g'\bigl(a x+b\bigr).

Passo 4

Para a segunda derivada, derivamos f'(x)=a\,g'(u(x)) novamente por x:
f''(x)=a\cdot\frac{d}{dx}\bigl[g'(u(x))\bigr] =a\;g''\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =a\cdot g''\bigl(a x+b\bigr)\cdot a =a^{2}g''\bigl(a x+b\bigr).

Passo 5

Estendendo por indução para a n-ésima derivada, obtém-se
f^{(n)}(x)=a^{n}\,g^{(n)}\bigl(a x+b\bigr).

Resposta

f'(x)=a\,g'(a x+b)
f''(x)=a^{2}\,g''(a x+b)
Em geral, f^{(n)}(x)=a^{n}\,g^{(n)}(a x+b).

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