Sabendo que
é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de
se:
;
Passo 1
O enunciado dá
com
derivável em seu domínio e pede as derivadas de
. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que diz como derivar uma composição de funções.
Passo 2
Definimos a função interna
para reescrever
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter a primeira derivada, temos
Como
, conclui-se
Passo 4
Para a segunda derivada, derivamos
novamente por
:
Passo 5
Estendendo por indução para a
-ésima derivada, obtém-se
Resposta
Em geral,