Sabendo que g é uma função derivável em seu domínio, calcule as derivadas de f se:
f(x)=x g\left(\sqrt{1-x^{2}}\right);

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x\,g\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)
e pede f'(x). Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, sabendo que g é diferenciável em todo o seu domínio e que o domínio efetivo de f é -1<x<1 (para \sqrt{1-x^2} estar bem definido).

Passo 2

Definimos
u(x)=\sqrt{1-x^{2}}=(1-x^{2})^{1/2}.
Então
f(x)=x\;g\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra do produto:
f'(x)=1\cdot g\bigl(u(x)\bigr)+x\cdot \frac{d}{dx}\bigl[g\bigl(u(x)\bigr)\bigr].
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[g(u(x))\bigr] =g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
E
u'(x)=\frac12(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x) =g\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr) +x\;g'\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)\,\Bigl(-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigr).
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f'(x) =g\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr) -\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\;g'\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr).

Resposta

f'(x) =g\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr) -\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\;g'\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr).

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