Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(5x-2)^6(3x-1)^3. Vamos usar o conteúdo de derivada de produto e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares: u(x)=(5x-2)^6 e v(x)=(3x-1)^3. Para derivar o produto f(x)=u(x)v(x), aplicamos a regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Agora derivamos cada parte usando a regra da cadeia. Para u(x)=(5x-2)^6 temos:
u'(x)=6(5x-2)^5cdotddx(5x-2)=6(5x-2)^5cdot5=30(5x-2)^5

Passo 3

Para v(x)=(3x-1)^3 fazemos o mesmo:
v'(x)=3(3x-1)^2cdotddx(3x-1)=3(3x-1)^2cdot3=9(3x-1)^2

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', obtemos:
f'(x)=30(5x-2)^5,(3x-1)^3+ (5x-2)^6,9(3x-1)^2

Passo 5

Para simplificar, fatoramos (5x-2)^5(3x-1)^2:
f'(x)=(5x-2)^5(3x-1)^2l[30(3x-1)+9(5x-2)r]
Calculamos o que está entre colchetes:
30(3x-1)+9(5x-2)=90x-30+45x-18=135x-48

Passo 6

Portanto chegamos à forma simplificada da derivada.

Resposta

f'(x)=(5x-2)^5(3x-1)^2(135x-48)

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