Determine o volume das regiões a seguir:
Omega é a região no primeiro octante limitada pelos planos z=10+x+y, y=2-x, y=x, z=0 e x=0.

Passo 1

Estamos com uma região Ω no primeiro octante (x≥0, y≥0, z≥0) limitada pelo plano superior z=10+x+y e pelos planos laterais x=0, y=x e y=2−x. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cartesianas, e vamos precisar projetar a região no plano xy e usar a definição de volume como ∭_Ω dV.

Passo 2

Para achar a projeção D de Ω no plano xy, basta zerar z. Então D é dado por x≥0, y≥0, y≥x e y≤2−x. A condição y≥x e y≤2−x em conjunto com x≥0 só existe para 0≤x≤1. Logo
em D temos 0≤x≤1 e x≤y≤2−x. Assim podemos escrever o volume como
[V = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{2-x} \int_{z=0}^{10+x+y} dz,dy,dx.]

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em z, que dá a altura 10+x+y, e depois integramos em y:
[\int_{y=x}^{2-x}(10+x+y),dy = \Bigl[(10+x)y + \frac{y2}{2}\Bigr]_{y=x}{2-x} = 22 - 20x - 2x^2.]

Passo 4

Por fim integramos em x de 0 a 1:
[V = \int_{0}^{1} (22 - 20x - 2x^2),dx = \Bigl[22x -10x^2 - \tfrac{2}{3}x3\Bigr]_01 = 22 -10 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{34}{3}.]

Resposta

34/3

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