Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Temos uma série alternada
cuja convergência vamos testar. O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral de séries e, se necessário, o critério de Leibniz para séries alternadas. Vamos precisar analisar o comportamento de
quando
.
Passo 2
Observando o termo geral, note que para
temos
, o que torna o termo indefinido. Por isso, consideramos o somatório a partir de
. Em módulo, o termo geral é
. Calculamos seu limite:
Passo 3
Como esse limite é infinito, o termo geral em módulo não tende a zero.
Passo 4
Pelo teste do termo geral (ou critério da divergência), sabemos que, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. Aqui temos
Passo 5
$$
\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{\ln n} não existe como zero (o módulo vai a\infty)$$
Logo, a série diverge.
Logo, a série diverge.
Resposta
A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.