Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n nln n

Passo 1

Temos uma série alternada cuja convergência vamos testar. O conteúdo principal aqui é o teste do termo geral de séries e, se necessário, o critério de Leibniz para séries alternadas. Vamos precisar analisar o comportamento de quando .

Passo 2

Observando o termo geral, note que para temos , o que torna o termo indefinido. Por isso, consideramos o somatório a partir de . Em módulo, o termo geral é . Calculamos seu limite:

Passo 3

limntoinftynln n = infty
Como esse limite é infinito, o termo geral em módulo não tende a zero.

Passo 4

Pelo teste do termo geral (ou critério da divergência), sabemos que, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. Aqui temos

Passo 5

$$
\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{n}{\ln n} não existe como zero (o módulo vai a\infty)$$
Logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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