Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=de

Passo 1

O problema é uma EDO de segunda ordem não homogênea com um impulso (delta de Dirac) em t=π. As condições iniciais são y(0)=0 e y’(0)=1. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade da função delta para resolver.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na equação y’’+y=δ(t−π)cos . Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1
e
Ly=Y(s)
Então a transformada do lado esquerdo é
(s^2Y(s)-1)+Y(s)=Y(s)(s^2+1)-1
Para o lado direito, usamos
Lδ(t-π)cos =e^-πscos(π)=-e^-πs

Passo 3

Igualando as transformadas temos
Y(s)(s^2+1)-1=-e^-πs
Logo
Y(s)(s^2+1)=1-e^-πs
Portanto
Y(s)=1s^2+1-e^-πss^2+1

Passo 4

Agora invertemos a transformada de Laplace termo a termo. Sabemos que
L^-1tfrac1s^2+1=sin t
e pela propriedade do deslocamento de segunda fórmula de Heaviside
L^-1e^-πsF(s)=u(t-π)f(t-π),
onde aqui f(t)=sin . Então
L^-1tfrace^-πss^2+1=u(t-π)sin(t-π)

Passo 5

Combinando os dois termos, chegamos à solução
y(t)=\sin t - u(t-π)\sin(t-π)

Resposta

y(t)=\sin t - u(t-π)\sin(t-π)

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