Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O problema é uma EDO de segunda ordem não homogênea com um impulso (delta de Dirac) em t=π. As condições iniciais são y(0)=0 e y’(0)=1. Vamos usar transformada de Laplace e a propriedade da função delta para resolver.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace na equação y’’+y=δ(t−π)cos . Lembrando que
e
Então a transformada do lado esquerdo é
Para o lado direito, usamos
Passo 3
Igualando as transformadas temos
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Portanto
Passo 4
Agora invertemos a transformada de Laplace termo a termo. Sabemos que
e pela propriedade do deslocamento de segunda fórmula de Heaviside
onde aqui f(t)=sin . Então
Passo 5
Combinando os dois termos, chegamos à solução
y(t)=\sin t - u(t-π)\sin(t-π)
y(t)=\sin t - u(t-π)\sin(t-π)
Resposta
y(t)=\sin t - u(t-π)\sin(t-π)