Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo aqui é teste de Leibniz para séries alternantes, e vamos precisar verificar duas condições: 1)
tende a zero; 2)
é decrescente a partir de algum
.
Passo 2
Primeiro, vamos checar o limite de
. Temos
Como o denominador cresce mais rápido que o numerador, o limite é zero.
Passo 3
Agora, para aplicar o teste de Leibniz, precisamos mostrar que
é decrescente. Definindo
para
e calculando a derivada, obtemos
Para
temos
, logo
. Assim,
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Como
e
é decrescente, pelo teste de Leibniz a série alternante converge. Não converge absolutamente, já que
se comporta como
e diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente, pelo teste de Leibniz.