Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+1n^3+1

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty(-1)^n-1n^2+1n^3+1. O conteúdo aqui é teste de Leibniz para séries alternantes, e vamos precisar verificar duas condições: 1) an=n^2+1n^3+1 tende a zero; 2) an é decrescente a partir de algum n.

Passo 2

Primeiro, vamos checar o limite de an. Temos
limntoinftyan=limntoinftyn^2+1n^3+1 = limntoinfty1+1/n^2n+1/n^3 = 0
Como o denominador cresce mais rápido que o numerador, o limite é zero.

Passo 3

Agora, para aplicar o teste de Leibniz, precisamos mostrar que an é decrescente. Definindo f(x)=x^2+1x^3+1 para x>=1 e calculando a derivada, obtemos
f'(x)=2x(x^3+1)-(x^2+1)3x^2(x^3+1)^2=-xl(x^3+3x-2r)(x^3+1)^2
Para x>=1 temos x^3+3x-2>0, logo f'(x)<0. Assim, an=f(n) é decrescente a partir de n=1.

Passo 4

Como anto0 e an é decrescente, pelo teste de Leibniz a série alternante converge. Não converge absolutamente, já que sum an se comporta como sum1/n e diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente, pelo teste de Leibniz.

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