Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado pede e o que vamos usar: temos a função f(t) = (4t^2 - 5t + 2)^-1/3, que é uma função composta. Para derivar, vamos precisar da regra da potência (para u^n) e da regra da cadeia (para funções compostas).
Definimos a parte interna u(t) = 4t^2 - 5t + 2 e a parte externa v(u) = u^-1/3. Assim, f(t) = v(u(t)).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: se f(t) = v(u(t)), então f'(t) = v'(u(t)) ,cdot, u'(t). E pela regra da potência, v'(u) = -tfrac13,u^-4/3. Logo,
f'(t) = -tfrac13,u(t)^-4/3 ;cdot; u'(t)

Passo 3

Calculamos agora a derivada de u(t): como u(t)=4t^2 - 5t + 2, temos
u'(t) = 8t - 5

Passo 4

Por fim, substituímos u(t) e u'(t) na expressão de f'(t) do passo 3 para obter a derivada desejada.

Resposta

f'(t) = -13,(4t^2 - 5t + 2)^-43,(8t - 5)

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