Determine o volume das regiões a seguir:
Omega é a região limitada superiormente pelo parabolóide circular z=-2, inferiormente pelo plano y=x^2, e lateralmente pela parábola y=x e o plano .

Passo 1

O enunciado pede o volume da região Ω limitada superiormente pelo paraboloide z = 4(x² + y²), inferiormente pelo plano z = –2 e lateralmente pelas curvas y = x² e y = x. O conteúdo principal é volume via integrais duplas, usando a fórmula de volume V = ∬_D (z_topo – z_fundo) dA.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar a projeção D de Ω no plano xy. As curvas y = x² e y = x se intersectam quando x² = x, ou seja, em x = 0 e x = 1. Como para x entre 0 e 1 vale x² ≤ x, a região D é
[
D = {(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x}.

Passo 3

Assim, montamos o integral de volume. Aqui z_topo = 4(x² + y²) e z_fundo = –2, logo
V = integral duplaD l(4(x^2 + y^2) - (-2)r),dA = integral duplaD l(4(x^2 + y^2) + 2r),dA

Passo 4

Em coordenadas cartesianas, isso vira um iterado em x e y:
V = integralx=0^1 integraly=x^2^x l(4(x^2 + y^2) + 2r),dy,dx

Passo 5

Agora calculamos a integral interna em y: dividir em três parcelas,
integraly=x^2^x 4x^2,dy = 4x^2(x - x^2),
integraly=x^2^x 4y^2,dy = tfrac43(x^3 - x^6),
integraly=x^2^x 2,dy = 2(x - x^2)

Passo 6

Somando, o integrando reduz-se a
2x - 2x^2 + tfrac163x^3 - 4x^4 - tfrac43x^6

Passo 7

Agora integramos em x de 0 a 1: calcular termo a termo dá
integral0^1 l(2x - 2x^2 + tfrac163x^3 - 4x^4 - tfrac43x^6r)dx = 71105

Resposta

V = 71105

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