Determine o volume das regiões a seguir:
é a região limitada superiormente pelo parabolóide circular
, inferiormente pelo plano
, e lateralmente pela parábola
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região Ω limitada superiormente pelo paraboloide z = 4(x² + y²), inferiormente pelo plano z = –2 e lateralmente pelas curvas y = x² e y = x. O conteúdo principal é volume via integrais duplas, usando a fórmula de volume V = ∬_D (z_topo – z_fundo) dA.
Passo 2
Precisamos primeiro encontrar a projeção D de Ω no plano xy. As curvas y = x² e y = x se intersectam quando x² = x, ou seja, em x = 0 e x = 1. Como para x entre 0 e 1 vale x² ≤ x, a região D é
[
D = {(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x}.
D = {(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x}.
Passo 3
Assim, montamos o integral de volume. Aqui z_topo = 4(x² + y²) e z_fundo = –2, logo
Passo 4
Em coordenadas cartesianas, isso vira um iterado em x e y:
Passo 5
Agora calculamos a integral interna em y: dividir em três parcelas,
Passo 6
Somando, o integrando reduz-se a
Passo 7
Agora integramos em x de 0 a 1: calcular termo a termo dá