Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de f(x)=e^{2\cos2x}. O conteúdo principal é derivação de função composta usando a regra da cadeia, além das derivadas de exponencial e de cosseno.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que f(x) é composição de duas funções: a função externa é v(u)=e^{u} e a interna é u(x)=2\cos2x.

Passo 3

Calculamos a derivada da função externa em relação a u. Como v(u)=e^u, temos v'(u)=e^u.
Em seguida derivamos a função interna u(x)=2cos2x. Usando derivada do cosseno e regra da cadeia:
ddx(cos2x)=-sin2xcdot2=-2sin2x,
portanto
u'(x)=2cdot(-2sin2x)=-4sin2x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=v'(u(x))cdot u'(x)=e^2cos2xcdot(-4sin2x)

Resposta

-4sin(2x)e^2cos(2x)

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