Use a transformada de Laplace para calcular as integrais abaixo:
integral0^infty t e^-2 t cos t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^inftyt e^-2tcos t,dt usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui é a definição de Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt e a propriedade Lt f(t)(s)=-dds Lf(t)(s).

Passo 2

Note que integral0^inftyt e^-2tcos t,dt é exatamente Ltcos t(s) avaliada em s=2, ou seja, integral0^inftyt e^-2tcos t,dt= Ltcos t(2).

Passo 3

Primeiro, lembramos que Lcos t(s)=ss^2+1.
Usando a propriedade de derivada, temos
Ltcos t(s)=-ddsgl(ss^2+1gr)=s^2-1(s^2+1)^2

Passo 4

Basta agora avaliar em s=2:
Ltcos t(2)=2^2-1(2^2+1)^2=325

Resposta

325

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