Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
2.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função . O que a gente precisa fazer é achar os pontos críticos calculando as derivadas parciais (gradiente) e depois usar o Hessiano para classificar cada ponto como mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Derivadas parciais: vamos encontrar e .
Passo 3
Ponto crítico: igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
Da primeira equação vem . Substituindo na segunda:
logo . Assim o único ponto crítico é .
Passo 4
Hessiano e classificação: construímos
O determinante é det H=2cdot4-6cdot6=8-36=-28<0, ou seja, o Hessiano é indefinido. Quando det H<0, temos ponto de sela.
Passo 5
Como só há esse ponto crítico e o Hessiano é indefinido nele, concluímos que em (-3,2) a função tem um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (-3,2) e trata-se de um ponto de sela.