Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
2. f(x, y)=x^2+6 x y+2 y^2-6 x+10 y-2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x^2+6xy+2y^2-6x+10y-2. O que a gente precisa fazer é achar os pontos críticos calculando as derivadas parciais (gradiente) e depois usar o Hessiano para classificar cada ponto como mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Derivadas parciais: vamos encontrar partial fpartial x e partial fpartial y.
partial fpartial x=2x+6y-6,
partial fpartial y=6x+4y+10

Passo 3

Ponto crítico: igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
2x+6y-6=0,
6x+4y+10=0
Da primeira equação vem x=3-3y. Substituindo na segunda:
6(3-3y)+4y+10=0
18-18y+4y+10=0implies 28-14y=0implies y=2,
logo x=3-3cdot2=-3. Assim o único ponto crítico é (-3,2).

Passo 4

Hessiano e classificação: construímos
H= partial^2 fpartial x^2&partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x&partial^2 fpartial y^2 =2&66&4
O determinante é det H=2cdot4-6cdot6=8-36=-28<0, ou seja, o Hessiano é indefinido. Quando det H<0, temos ponto de sela.

Passo 5

Como só há esse ponto crítico e o Hessiano é indefinido nele, concluímos que em (-3,2) a função tem um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (-3,2) e trata-se de um ponto de sela.

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