Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}.
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}.
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a série
quanto à convergência, tanto no caso geral (termos podem ser positivos ou negativos) quanto no caso específico de termos positivos. Vamos usar testes de convergência de séries.
Passo 2
Como todos os termos
são positivos, podemos aplicar o teste da raiz de Cauchy: se
então a série converge absolutamente.
Passo 3
Calculemos a raiz
-ésima de
:
Tomando o limite quando
:
Como
, o teste da raiz garante convergência absoluta.
Passo 4
Concluímos que a série converge absolutamente. Logo, no critério (a) ela é convergente (não há caso condicional, pois não há alternância de sinal), e no critério (b), por ser de termos positivos, também é convergente.
Resposta
(a) Convergente (convergência absoluta); (b) Convergente.