Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}.

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a série sumn=2^infty 1(ln n)^n quanto à convergência, tanto no caso geral (termos podem ser positivos ou negativos) quanto no caso específico de termos positivos. Vamos usar testes de convergência de séries.

Passo 2

Como todos os termos an=tfrac1(ln n)^n são positivos, podemos aplicar o teste da raiz de Cauchy: se L=limsupntoinftyraiz[n]an<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos a raiz n-ésima de an:
raiz[n]an=raiz[n]1(ln n)^n=1ln n
Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty1ln n=0
Como 0<1, o teste da raiz garante convergência absoluta.

Passo 4

Concluímos que a série converge absolutamente. Logo, no critério (a) ela é convergente (não há caso condicional, pois não há alternância de sinal), e no critério (b), por ser de termos positivos, também é convergente.

Resposta

(a) Convergente (convergência absoluta); (b) Convergente.

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