Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
3.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo que vamos usar inclui cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e análise da matriz Hessiana para classificar o ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Igualamos as derivadas a zero para obter o sistema:
Simplificando, temos
Resolvendo, obtemos e , logo o ponto crítico é .
Passo 4
Montamos a matriz Hessiana de e analisamos sua definitude:
Calculamos o determinante e o traço:
det(H) = (-2)(-4) - (-2)^2 = 8 - 4 = 4 > 0
tr(H) = -2 + (-4) = -6 < 0
Como det(H)>0 e o traço é negativo, a Hessiana é negativa definida, indicando que (11,-8) é um máximo local.
Resposta
O ponto crítico é (11, -8) e corresponde a um máximo local.