Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
3. f(x, y)=-x^2-2 x y-2 y^2+6 x-10 y+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=-x^2-2xy-2y^2+6x-10y+5 e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo que vamos usar inclui cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e análise da matriz Hessiana para classificar o ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = -2x - 2y + 6
partial fpartial y = -2x - 4y - 10

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para obter o sistema:
-2x - 2y + 6 = 0
-2x - 4y - 10 = 0
Simplificando, temos
x + y = 3
x + 2y = -5
Resolvendo, obtemos y = -8 e x = 11, logo o ponto crítico é (11, -8).

Passo 4

Montamos a matriz Hessiana de f e analisamos sua definitude:
H = fxx & fxy fyx & fyy = -2 & -2 -2 & -4
Calculamos o determinante e o traço:
det(H) = (-2)(-4) - (-2)^2 = 8 - 4 = 4 > 0
tr(H) = -2 + (-4) = -6 < 0
Como det(H)>0 e o traço é negativo, a Hessiana é negativa definida, indicando que (11,-8) é um máximo local.

Resposta

O ponto crítico é (11, -8) e corresponde a um máximo local.

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