Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)=sen³(3x²+6x). O conteúdo principal é derivada de função composta, usando a regra da cadeia, a derivada de potência e a derivada da função seno.

Passo 2

Primeiro identificamos as camadas da função composta: a parte mais externa é elevar ao cubo (u³), em seguida temos a função seno (sen(v)) e, por fim, o polinômio interno v=3x²+6x.
Pela regra da cadeia, se f(x)=g(h(x)), então f′(x)=g′(h(x))·h′(x). Vamos aplicar isso em duas etapas: de u³ e de sen(v).

Passo 3

Derivando u³ em relação a u: se u=sen(v), então d/du[u³]=3u², ou seja, 3·sen²(v). Depois derivamos sen(v) em relação a v: d/dv[sen(v)]=cos(v).

Passo 4

Agora derivamos v=3x²+6x: d/dx[3x²+6x]=6x+6. Juntando tudo, multiplicamos os fatores da cadeia e simplificamos.

Resposta

f'(x)=18,(x+1),sin^2l(3x^2+6xr),cosl(3x^2+6xr)

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