Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
23. f(x, y, z)=2 x y+4 x z+y z com x y z=1

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=2xy+4xz+yz sujeita à restrição xyz=1. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar o sistema nabla f=lambda nabla g onde g(x,y,z)=xyz-1.

Passo 2

Formamos as equações de Lagrange calculando as derivadas parciais:
fx=2y+4z=lambda,yz,
fy=2x+z=lambda,xz,
fz=4x+y=lambda,xy,
com a restrição xyz=1.

Passo 3

Dividindo a primeira equação por yz e a segunda por xz e igualando lambda, obtemos
2y+4zyz=2x+zxzimplies 4xz=yzimplies y=4x

Passo 4

Agora igualamos lambda da primeira e da terceira equação:
2y+4zyz=4x+yxyimplies 2xy^2+4xyz=4xyz+y^2zimplies 2x=y,z/y^2implies z=2x

Passo 5

Usando y=4x, z=2x na restrição xyz=1 temos
xcdot(4x)cdot(2x)=1implies 8x^3=1implies x=tfrac12,
logo y=2 e z=1.

Passo 6

O único ponto crítico é (tfrac12,2,1) com f(tfrac12,2,1)=6. Analisando variações na vizinhança vemos direções em que f<6 e outras em que f>6, caracterizando ponto de sela.

Passo 7

Conclusão: não existe máximo nem mínimo (o ponto (tfrac12,2,1) é de sela).

Resposta

O único ponto crítico é (tfrac12,2,1) com f=6, que é ponto de sela; portanto não há extremos.

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