Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
21.
21.
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos da função sujeita à restrição de uma esfera: maximizar e minimizar
com
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é a técnica padrão para extremos condicionados.
Passo 2
Na técnica de Lagrange definimos a função
e introduzimos o multiplicador
. A condição de extremo é dada pelas equações
juntamente com a restrição
.
Passo 3
Calculamos os gradientes:
e
. Assim temos o sistema
Passo 4
Das três primeiras equações isolamos
em termos de
:
Passo 5
Substituindo na restrição obtemos
Passo 6
Logo
. Para
vem
e
. Para
vem
e
.
Concluímos que o máximo de é 9 em
e o mínimo de
é -9 em
.
Concluímos que o máximo de
Resposta
Valor máximo de f: 9 em (1,2,-2). Valor mínimo de f: -9 em (-1,-2,2).