Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
21. f(x, y, z)=x+2 y-2 z com x^2+y^2+z^2=9

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função sujeita à restrição de uma esfera: maximizar e minimizar f(x,y,z)=x+2y-2z com x^2+y^2+z^2=9. Vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é a técnica padrão para extremos condicionados.

Passo 2

Na técnica de Lagrange definimos a função g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9 e introduzimos o multiplicador lambda. A condição de extremo é dada pelas equações nabla f=lambdanabla g juntamente com a restrição g=0.

Passo 3

Calculamos os gradientes: nabla f=(1,2,-2) e nabla g=(2x,2y,2z). Assim temos o sistema
1=2lambda x, 2=2lambda y, -2=2lambda z, x^2+y^2+z^2=9

Passo 4

Das três primeiras equações isolamos x,y,z em termos de lambda:
x=12lambda, y=1lambda, z=-1lambda

Passo 5

Substituindo na restrição obtemos
l(12lambdar)^2+l(1lambdar)^2+l(-1lambdar)^2=9Longrightarrow1/4+1+1lambda^2=9Longrightarrowlambda^2=14

Passo 6

Logo lambda=pmtfrac12. Para lambda=tfrac12 vem (x,y,z)=(1,2,-2) e f=9. Para lambda=-tfrac12 vem (x,y,z)=(-1,-2,2) e f=-9.
Concluímos que o máximo de f é 9 em (1,2,-2) e o mínimo de f é -9 em (-1,-2,2).

Resposta

Valor máximo de f: 9 em (1,2,-2). Valor mínimo de f: -9 em (-1,-2,2).

Exercícios relacionados