Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
20. f(x, y)=x y com x^2+3 y^2=6

Passo 1

Estamos buscando os extremos da função f(x,y)=x y sob a condição x²+3y²=6. O conteúdo envolve multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar usar gradientes para impor a restrição e encontrar pontos críticos.

Passo 2

Definimos a restrição g(x,y)=x²+3y²−6=0 e aplicamos o método de Lagrange: igualamos o gradiente de f ao gradiente de g vezes um multiplicador λ. Calculamos os gradientes: ∇f=(y, x) e ∇g=(2x, 6y). Escrevemos as equações de Lagrange:
y = λ·2x,
x = λ·6y,
além da restrição
x²+3y²=6²²

Passo 3

Da primeira e da segunda equação obtemos λ=y/(2x) e λ=x/(6y). Igualando:
y2x=x6y implies 6y²=2x² implies x²=3y²²²²²

Passo 4

Substituindo em x²+3y²=6 temos 3y²+3y²=6, ou seja 6y²=6, logo y²=1 e y=±1. Então x²=3 e x=±√3. Isso gera quatro pontos críticos: (√3,1), (−√3,1), (√3,−1) e (−√3,−1).

Passo 5

Para decidir máximos e mínimos, avaliamos f em cada ponto:
f(√3,1)=√3, f(−√3,−1)=√3,
f(√3,−1)=−√3, f(−√3,1)=−√3

Passo 6

Valores positivos √3 são máximos e valores negativos −√3 são mínimos.

Resposta

Máximos em (√3,1) e (−√3,−1) com f=√3; mínimos em (√3,−1) e (−√3,1) com f=−√3.

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