Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
22.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os extremos da função sujeita à condição . O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver as equações de condição de otimalidade.
Passo 2
Definição da Lagrangeana: introduzimos o multiplicador e escrevemos
Passo 3
Condições de estacionaridade: derivamos em relação a e igualamos a zero:
Passo 4
Expressão de lambda: de cada equação isolamos lambda:
lambda = yzy+z, lambda = xzx+3z, lambda = xyx+3y
Passo 5
Igualação das expressões de lambda: igualando as duas primeiras obtemos
yzy+z=xzx+3zimplies z(3y - x)=0
e igualando a primeira e a terceira:
yzy+z=xyx+3yimplies y(3z - x)=0
Passo 6
Solução não degenerada: para não anular y ou z (caso geram inconsistências na restrição), tomamos
x=3y, x=3z
o que implica y=z e portanto x=3y.
Passo 7
Uso da restrição: substituímos x=3t, y=t, z=t em
xy + xz + 3yz = 4
ficando
3t^2 + 3t^2 + 3t^2 = 9t^2 = 4
ou seja t=pmtfrac23.
Passo 8
Cálculo dos pontos críticos e valores de f: para t=2/3 temos
Classificação dos extremos: conclui-se que f=tfrac89 em (2,tfrac23,tfrac23) é um máximo relativo, e f=-tfrac89 em (-2,-tfrac23,-tfrac23) é um mínimo relativo.
Resposta
Pontos críticos: (2, 2/3, 2/3) com f=8/9 (máximo relativo) e (-2, -2/3, -2/3) com f=-8/9 (mínimo relativo).