Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
22. f(x, y, z)=x y z com x y+x z+3 y z=4

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os extremos da função f(x,y,z)=xyz sujeita à condição xy + xz + 3yz = 4. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver as equações de condição de otimalidade.

Passo 2

Definição da Lagrangeana: introduzimos o multiplicador lambda e escrevemos
L(x,y,z,lambda)=xyz - lambdal(xy + xz + 3yz - 4r)

Passo 3

Condições de estacionaridade: derivamos L em relação a x,y,z e igualamos a zero:
partialx L: & yz - lambda(y+z)=0, partialy L: & xz - lambda(x+3z)=0, partialz L: & xy - lambda(x+3y)=0

Passo 4

Expressão de lambda: de cada equação isolamos lambda:
lambda = yzy+z, lambda = xzx+3z, lambda = xyx+3y

Passo 5

Igualação das expressões de lambda: igualando as duas primeiras obtemos
yzy+z=xzx+3zimplies z(3y - x)=0
e igualando a primeira e a terceira:
yzy+z=xyx+3yimplies y(3z - x)=0

Passo 6

Solução não degenerada: para não anular y ou z (caso geram inconsistências na restrição), tomamos
x=3y, x=3z
o que implica y=z e portanto x=3y.

Passo 7

Uso da restrição: substituímos x=3t, y=t, z=t em
xy + xz + 3yz = 4
ficando
3t^2 + 3t^2 + 3t^2 = 9t^2 = 4
ou seja t=pmtfrac23.

Passo 8

Cálculo dos pontos críticos e valores de f: para t=2/3 temos
(x,y,z)=(2,tfrac23,tfrac23), f=2cdottfrac23cdottfrac23=tfrac89
Para t=-2/3 temos
(x,y,z)=(-2,-tfrac23,-tfrac23), f=-2cdot(-tfrac23)cdot(-tfrac23)=-tfrac89

Passo 9

Classificação dos extremos: conclui-se que f=tfrac89 em (2,tfrac23,tfrac23) é um máximo relativo, e f=-tfrac89 em (-2,-tfrac23,-tfrac23) é um mínimo relativo.

Resposta

Pontos críticos: (2, 2/3, 2/3) com f=8/9 (máximo relativo) e (-2, -2/3, -2/3) com f=-8/9 (mínimo relativo).

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