Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)= 3sec^2 xx. O conteúdo envolvido são as regras de derivação de funções trigonométricas (secante ao quadrado), potência e produto.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) como produto para facilitar a aplicação das regras. Note que 3sec^2 xx=3sec^2 xcdot x^-1. Ou seja, definimos u(x)=3sec^2 x e v(x)=x^-1.

Passo 3

Precisamos do produto de funções, então usamos a regra: (uv)'=u'v+uv'. Para isso, calculamos u'(x) e v'(x) separadamente:
Para u(x)=3sec^2 x, usamos a derivada de sec x que é sec xtan x e a regra da cadeia:
u'(x)=3cdot 2sec^2 xtan x=6sec^2 xtan x

Passo 4

Para v(x)=x^-1, usamos a regra da potência d(x^n)/dx=n x^n-1:
v'(x)=-1,x^-2=-x^-2

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'v+uv'=(6sec^2 xtan x)cdot x^-1+(3sec^2 x)cdot(-x^-2)

Passo 6

Basta reorganizar para deixar num formato padrão:
f'(x)=6sec^2 xtan xx-3sec^2 xx^2

Resposta

f'(x)=6sec^2 xtan xx-3sec^2 xx^2

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