Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{3}{2}(3x+5)^{-1}(2x-1). O conteúdo é derivação usando regra do produto e da cadeia, e vamos precisar identificar funções auxiliares e aplicar as regras.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares:
u(x) = (3x+5)^-1, v(x) = 2x-1
Assim f(x)=\frac{3}{2}u(x)v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v usando a regra da cadeia:
u'(x) = -1(3x+5)^-2cdot3 = -3(3x+5)^-2, v'(x)=2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto multiplicada pela constante tfrac32:
f'(x) = 32l(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)r) = 32l[-3(3x+5)^-2(2x-1) + (3x+5)^-1cdot2r]

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
-922x-1(3x+5)^2 + 6213x+5 = -9(2x-1)2(3x+5)^2 + 6(3x+5)2(3x+5)^2
No numerador temos -18x+9+18x+30=39 e o denominador é 2(3x+5)^2.

Passo 6

Com isso concluímos o cálculo da derivada.

Resposta

f’(x) = 392(3x+5)^2

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