- Encontre as dimensões de uma caixa retangular com volume máximo e que tenha área superficial 600.
Passo 1
O problema pede que a gente encontre as dimensões
de uma caixa retangular que maximize o volume
dado que a área superficial é fixa em 600.
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos precisar usar o método de multiplicadores de Lagrange (ou observar simetria).
Passo 2
Vamos chamar as arestas da caixa de
,
e
, todas positivas.
Então o volume é
e a área superficial é
Passo 3
Aplicamos o multiplicador de Lagrange montando
Derivando em relação a
,
,
e
e igualando a zero, temos
Passo 4
Das três primeiras igualdades, podemos reorganizar:
Como o sistema é simétrico em
, a solução que maximiza o volume é a que torna
.
Passo 5
Substituindo
na restrição de área:
Logo,
e
.
Resposta
As dimensões da caixa são 10 por 10 por 10.