1. Encontre as dimensões de uma caixa retangular com volume máximo e que tenha área superficial 600.

Passo 1

O problema pede que a gente encontre as dimensões
de uma caixa retangular que maximize o volume
dado que a área superficial é fixa em 600.
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos precisar usar o método de multiplicadores de Lagrange (ou observar simetria).

Passo 2

Vamos chamar as arestas da caixa de x, y e z, todas positivas.
Então o volume é
V = x y z
e a área superficial é
S = 2(xy + xz + yz) = 600

Passo 3

Aplicamos o multiplicador de Lagrange montando
L(x,y,z,lambda) = xyz - lambdal(2(xy + xz + yz) - 600r)
Derivando em relação a x, y, z e lambda e igualando a zero, temos
partial Lpartial x = yz - lambda,2(y+z) = 0,
partial Lpartial y = xz - lambda,2(x+z) = 0,
partial Lpartial z = xy - lambda,2(x+y) = 0,
partial Lpartial lambda = 2(xy + xz + yz) - 600 = 0

Passo 4

Das três primeiras igualdades, podemos reorganizar:
yz = 2lambda(y+z),
xz = 2lambda(x+z),
xy = 2lambda(x+y)
Como o sistema é simétrico em x,y,z, a solução que maximiza o volume é a que torna x = y = z.

Passo 5

Substituindo x = y = z na restrição de área:
2(x^2 + x^2 + x^2) = 600 implies 6x^2 = 600 implies x^2 = 100 implies x = 10
Logo, y = 10 e z = 10.

Resposta

As dimensões da caixa são 10 por 10 por 10.

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