Use uma série de potências para aproximar a integral definida com uma precisão de seis casas decimais.
integral0^13 x^2 arctg x d x.

Passo 1

O exercício pede para aproximar com precisão de seis casas decimais a integral\nO conteúdo é séries de potências (expansão em Taylor de ) e integração termo a termo de séries. Vamos usar a expansão de em integral0^1/3 x^2arctg(x),dx e depois integrar.

Passo 2

Sabendo que a série de Taylor de émultiplicamos por arctg(x):

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 1/3:Como integral0^1/3x^2arctg(x),dx=sumn=0^infty(-1)^n12n+1integral0^1/3x^2n+3,dxtemos a série alternada integral0^1/3x^2n+3dx=(1/3)^2n+42n+4,

Passo 4

Para controle de erro usamos o teste da série alternada: o erro ao parar no termo n=N é no máximo o valor absoluto do termo n=N+1. O termo geral (valor absoluto) é bn=(1/3)^2n+4(2n+1)(2n+4)Queremos bN+1<=10^-6.

Passo 5

Calculando alguns bn: para n=0 temos b0=1/324approx3,0864times10^-3, para n=1 b1approx7,62times10^-5, para n=2 b2approx3,81times10^-6, para n=3 b3approx2,42times10^-7<10^-6 Então basta somar até n=2.

Passo 6

Somando os três primeiros termos (n=0,1,2): a0=+1324approx0,0030864198,a1=-113122approx-0,00007622,a2=+1262440approx0,00000381A soma parcial dá S2approx0,0030864198-0,00007622+0,00000381=0,003014006O erro máximo é b3approx2,42times10^-7, muito abaixo de 10^-6.

Resposta

0.003014

Exercícios relacionados