1. A soma de três números positivos é 120 . Qual é o valor máximo de seu produto?

Passo 1

Neste exercício, a soma de três números positivos é 120 e queremos encontrar o valor máximo do produto desses três números. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (soma fixa) e vamos utilizar a desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM).

Passo 2

A desigualdade AM–GM para três números positivos x,y,z afirma que
x+y+z3 >= raiz[3]xyz,
e a igualdade ocorre exatamente quando x=y=z.

Passo 3

Como x+y+z=120, aplicamos a AM–GM:
1203 >= raiz[3]xyz
ou seja,
40 >= raiz[3]xyz
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
xyz <= 40^3 = 64000

Passo 4

A condição de igualdade (e portanto o máximo do produto) ocorre quando x=y=z=40. Logo, o valor máximo do produto é 64000.

Resposta

64000

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