- A soma de três números positivos é 120 . Qual é o valor máximo de seu produto?
Passo 1
Neste exercício, a soma de três números positivos é 120 e queremos encontrar o valor máximo do produto desses três números. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (soma fixa) e vamos utilizar a desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM).
Passo 2
A desigualdade AM–GM para três números positivos
afirma que
e a igualdade ocorre exatamente quando
.
Passo 3
Como
, aplicamos a AM–GM:
ou seja,
Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
Passo 4
A condição de igualdade (e portanto o máximo do produto) ocorre quando
. Logo, o valor máximo do produto é 64000.
Resposta
64000