Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função usando regras de derivação (cadeia e derivadas de funções hiperbólicas).
Vamos definir duas funções auxiliares para aplicar a regra da cadeia com calma: e f(x)=l[cosechl(tfrac3x+1xr)r]^3. Então u(x)=cosech(v(x)).

Passo 2

Derivando f em relação a u, temos f'(x)=3l(u(x)r)^2cdot u'(x) pela regra da potência.

Passo 3

Agora derivamos . A derivada de em relação a u(x)=cosech(v(x)) é . Logo

Passo 4

Por fim, derivamos v(x)=tfrac3x+1x=3+tfrac1x. A derivada é
v'(x)=0-1x^2=-1x^2

Passo 5

Substituindo u'(x) e v'(x) em f'(x)=3u^2,u', obtemos

Passo 6

Simplificando os sinais e fatores: dois sinais negativos se cancelam e juntamos potências de :

Resposta

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