Encontre uma expressão para integral sin ^n x d x

Passo 1

O enunciado quer achar uma expressão geral para integral sin^n x,dx. O conteúdo envolvido é integração por partes e fórmula de redução de integrais de potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Para usar integração por partes, lembramos que integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escolher u e dv de modo a reduzir a potência de sin x.
Definimos
u = sin^n-1x, dv = sin x,dx
Então
du = (n-1)sin^n-2xcos x,dx,
v = integral sin x,dx = -cos x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral sin^n x,dx = u,v - integral v,du = -sin^n-1xcos x - integrall(-cos xr),(n-1)sin^n-2xcos x,dx
Isso dá
integral sin^n x,dx = -sin^n-1xcos x + (n-1)integral sin^n-2xcos^2 x,dx

Passo 4

Usando cos^2 x = 1-sin^2 x dentro da integral e agrupando os termos que têm integralsin^n x,dx, obtemos
nintegral sin^n x,dx = -sin^n-1xcos x + (n-1)integral sin^n-2x,dx
Dividindo por n, surge a fórmula de redução desejada.

Resposta

integral sin^n x,dx = -sin^n-1x,cos xn + n-1nintegral sin^n-2x,dx + C

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