Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x)=1a(b x^2 + a x)^3. O conteúdo envolvido é derivada de potência composta (regra do cadeia) e derivada de polinômio. Precisaremos usar a regra do produto por constante e a regra do cadeia.

Passo 2

Como o fator 1/a é constante em relação a x, podemos colocá-lo fora do operador de derivada: f'(x)=1addx(b x^2 + a x)^3.
Identificamos a função interna u(x)=b x^2 + a x e a função externa v(u)=u^3. Pela regra do cadeia, ddxv(u(x))=v'(u(x))cdot u'(x) e v'(u)=3u^2.

Passo 3

Agora derivamos a função interna: u'(x)=ddx(b x^2 + a x)=2b x + a.
Substituindo na regra do cadeia e na constante externa, obtemos f'(x)=1acdot3(b x^2 + a x)^2cdot(2b x + a), que é a forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=3a(b x^2 + a x)^2(2b x + a)

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