integral d x2+cos x

Passo 1

Nesse exercício a gente quer calcular a integral indefinida integral dx2+cos x. O conteúdo chave aqui é usar a substituição trigonométrica de Weierstrass (ou tangente da metade do ângulo).

Passo 2

Vamos definir a substituição t=tanx2. Sabemos que
cos x=1-t^21+t^2, dx=2,dt1+t^2

Passo 3

Substituindo na integral original, o denominador fica
$$2+\cos x=2+\frac{1-t2}{1+t2}=\frac{2(1+t2)+1-t2}{1+t2}=\frac{3+t2}{1+t^2}.
$$

Passo 4

Então
integral dx2+cos x =integral 2,dt/(1+t^2)(3+t^2)/(1+t^2) =2integral dt3+t^2

Passo 5

Agora basta integrar uma função racional simples:
2integral dtt^2+3 =2cdot 1raiz3arctanl(traiz3r)+C =2raiz3arctanl(traiz3r)+C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x com t=tanx2.

Resposta

2raiz3arctanl(tfractan(x/2)raiz3r)+C

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