Nos itens abaixo, assuma que
admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Taylor para
centrada no valor dado de
. Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver
em série de Taylor centrada em
, ou seja, escrever
. Precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão. A primeira derivada é
, a segunda é
e a terceira é
. Observamos que a cada derivada aparece um fator
extra, um fatorial crescente e uma potência negativa de
.
Passo 3
Generalizando, a
-ésima derivada é
Esse padrão vem de derivar repetidamente a potência
Passo 4
Avaliando em
e dividindo por
para usar na fórmula de Taylor, obtemos
Passo 5
Substituindo na soma da série de Taylor, temos
Isso coincide com a expansão da função geométrica
Passo 6
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão ou usamos o fato de ser série geométrica em
. Converge se
, portanto o raio é
.
Resposta
O raio de convergência é