Nos itens abaixo, assuma que f(x) admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Taylor para f(x) centrada no valor dado de a. Encontre também o raio de convergência associado.
f(x)=1x, a=1

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver f(x)=1/x em série de Taylor centrada em a=1, ou seja, escrever sumn=0^infty f^(n)(1)n!(x-1)^n. Precisamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em x=1.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar o padrão. A primeira derivada é f'(x)=-1/x^2, a segunda é f''(x)=2/x^3 e a terceira é f'''(x)=-6/x^4. Observamos que a cada derivada aparece um fator (-1) extra, um fatorial crescente e uma potência negativa de x.

Passo 3

Generalizando, a n-ésima derivada é
f^(n)(x)=(-1)^n,n!,x^-(n+1)
Esse padrão vem de derivar repetidamente a potência x^-1.

Passo 4

Avaliando em x=1 e dividindo por n! para usar na fórmula de Taylor, obtemos
f^(n)(1)n!=(-1)^n,n!n!,1^n+1=(-1)^n

Passo 5

Substituindo na soma da série de Taylor, temos
sumn=0^infty(-1)^n(x-1)^n
Isso coincide com a expansão da função geométrica 1/(1+u)=sum(-u)^n tomando u=x-1.

Passo 6

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão ou usamos o fato de ser série geométrica em u=x-1. Converge se |x-1|<1, portanto o raio é R=1.

Resposta

1x=sumn=0^infty(-1)^n(x-1)^n
O raio de convergência é R=1.

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