Calcule as derivadas das funçōes abaixo usando as regras de derivação:
f(t)=a t^{m}+b t^{m+n};

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=a\,t^{m}+b\,t^{m+n}
em relação a t. O conteúdo aqui é a derivação de potências: usamos a regra de que a derivada de t^{k} é k\,t^{k-1}, além da linearidade da derivada (constante vezes função e soma de funções).

Passo 2

Derivamos o primeiro termo a\,t^{m}. Pela constante a sair, e aplicando a regra da potência com k=m, temos
\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{m}\bigr) = a\;\frac{d}{dt}\bigl(t^{m}\bigr) = a\,(m\,t^{m-1}) = a\,m\,t^{m-1}.

Passo 3

Derivamos o segundo termo b\,t^{m+n}. De novo a constante b sai, e aplicamos a regra da potência com k=m+n, ficando
\frac{d}{dt}\bigl(b\,t^{m+n}\bigr) = b\;\frac{d}{dt}\bigl(t^{m+n}\bigr) = b\,\bigl((m+n)\,t^{m+n-1}\bigr) = b\,(m+n)\,t^{m+n-1}.

Passo 4

Pela linearidade (soma), somamos os resultados dos dois termos. Assim, a derivada de f é
\frac{df}{dt} = a\,m\,t^{m-1} + b\,(m+n)\,t^{m+n-1}.

Resposta

\frac{df}{dt} = a\,m\,t^{m-1} + b\,(m+n)\,t^{m+n-1}.

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