Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
\left(1,0\right. ponto) F(x)=\operatorname{sec} (\sqrt[3]{x}) \mathrm{e}^{\operatorname{sen} \mathrm{x}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,e^{\sin x}.
O conteúdo envolve a regra do produto, a derivada da função secante (com regra da cadeia) e a derivada da exponencial composta.

Passo 2

Para a primeira parte usamos a regra da cadeia em \operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr). Definindo
u(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3},
temos
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr) =\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Como
u'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},
segue
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr) =\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 3

Para a segunda parte derivamos \;e^{\sin x}\; usando regra da cadeia na exponencial:
\frac{d}{dx}e^{\sin x} =e^{\sin x}\cdot(\sin x)'=e^{\sin x}\cos x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto em \;F(x)=f(x)\,g(x), com
f(x)=\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr), \quad g(x)=e^{\sin x}.
Logo
F'(x) =f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)
\;=\Bigl[\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\tan\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\Bigr]\,e^{\sin x} +\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\,\bigl[e^{\sin x}\cos x\bigr].

Passo 5

Fatorando e^{\sin x}\operatorname{sec}(\sqrt[3]{x}) fica mais compacto:
F'(x) =e^{\sin x}\,\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\Bigl[\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\,\tan\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr) +\cos x\Bigr].

Resposta

F'(x) =e^{\sin x}\,\operatorname{sec}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)\Bigl[\tfrac{1}{3}x^{-2/3}\,\tan\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr) +\cos x\Bigr].

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