Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
(1,0 ponto) G(x)=\ln (\operatorname{arcsec} x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
G(x)=\ln\bigl(\operatorname{arcsec}x\bigr).
Aqui usaremos a regra da cadeia para logaritmo e a fórmula da derivada de \operatorname{arcsec}x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia ao logaritmo, se G(x)=\ln(u(x)) então
G'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No nosso caso u(x)=\operatorname{arcsec}x, logo
G'(x)=\frac{\bigl(\operatorname{arcsec}x\bigr)'}{\operatorname{arcsec}x}.

Passo 3

Recordando a derivada de \operatorname{arcsec}x: para \lvert x\rvert>1 vale
\bigl(\operatorname{arcsec}x\bigr)'=\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Substituindo em G'(x) obtemos
G'(x) =\frac{1}{\operatorname{arcsec}x}\cdot\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{\lvert x\rvert\,\operatorname{arcsec}x\,\sqrt{x^{2}-1}}.
Em particular, para x>1 isso fica
G'(x)=\frac{1}{x\,\operatorname{arcsec}x\,\sqrt{x^{2}-1}}.

Resposta

G'(x)=\frac{1}{\lvert x\rvert\,\operatorname{arcsec}x\,\sqrt{x^{2}-1}},\quad\lvert x\rvert>1.

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