Calcule \int_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}} usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes:
\overrightarrow{\mathrm{F}}=x \vec{i}+y \vec{j}+x y z \vec{k} e C é o triânglo com vértice (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}
onde \overrightarrow{F}=(x,\,y,\,xyz) e C é o triângulo fechado com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Vamos usar dois métodos: (a) cálculo direto por parametrizações de cada lado do triângulo; (b) aplicação do teorema de Stokes, integrando a curvatura rotacional \nabla\times\overrightarrow{F} sobre a face triangular.

Passo 2

Cálculo direto. Dividimos C em três arestas orientadas ciclicamente:
  1. Aresta de (1,0,0) a (0,1,0):
    \displaystyle r_{1}(t)=(1-t,\;t,\;0), t\in[0,1].
    Então
dr_{1} = (-1,\,1,\,0)\,dt, \quad \overrightarrow{F}(r_{1}(t))=\bigl(1-t,\;t,\;0\bigr).
Logo
\overrightarrow{F}\cdot dr_{1} =(1-t)(-1)+t\cdot1 =-1+2t,
e
\int_{0}^{1}(-1+2t)\,dt =\bigl[-t+t^{2}\bigr]_{0}^{1} =-1+1=0.
  1. Aresta de (0,1,0) a (0,0,1):
    \displaystyle r_{2}(t)=(0,\;1-t,\;t), t\in[0,1].
    Assim
dr_{2}=(0,\,-1,\,1)\,dt, \quad \overrightarrow{F}(r_{2}(t))=\bigl(0,\;1-t,\;0\bigr).
Então
\overrightarrow{F}\cdot dr_{2} =(1-t)(-1) =-1+t,
e
\int_{0}^{1}(-1+t)\,dt =\bigl[-t+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} =-1+\tfrac12=-\tfrac12.
  1. Aresta de (0,0,1) a (1,0,0):
    \displaystyle r_{3}(t)=(t,\;0,\;1-t), t\in[0,1].
    Logo
dr_{3}=(1,\,0,\,-1)\,dt, \quad \overrightarrow{F}(r_{3}(t))=(t,\;0,\;0).
Então
\overrightarrow{F}\cdot dr_{3} =t\cdot1 =t,
e
\int_{0}^{1}t\,dt =\tfrac12.
Somando as três contribuições:
0 + \bigl(-\tfrac12\bigr) + \tfrac12 = 0.

Passo 3

Aplicação do teorema de Stokes. Primeiro, calculamos o rotacional de \overrightarrow{F}:
\nabla\times\overrightarrow{F} =\bigl( \partial_{y}(xyz)-\partial_{z}(y),\; \partial_{z}(x)-\partial_{x}(xyz),\; \partial_{x}(y)-\partial_{y}(x) \bigr) =(xz,\,-yz,\,0).
Escolhemos como superfície S o triângulo no plano x+y+z=1. Uma parametrização é
r(u,v)=(u,\;v,\;1-u-v), \quad u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1.
Temos
r_{u}=(1,0,-1), \quad r_{v}=(0,1,-1),
e o vetor normal orientado é
r_{u}\times r_{v}=(1,1,1).
Pelo teorema de Stokes,
\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} =\iint_{S} (\nabla\times\overrightarrow{F})\cdot (r_{u}\times r_{v})\,du\,dv.
Isso dá
(\nabla\times\overrightarrow{F})\cdot(1,1,1) =xz - yz =z\,(x-y).
Substituindo x=u, y=v, z=1-u-v e integrando sobre a região u\ge0, v\ge0, u+v\le1, obtém-se
\iint_{D}(1-u-v)(u-v)\,du\,dv =0
após desenvolvimento algébrico e cálculo direto.

Resposta

\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} =0.

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