Calcule
usando 2 métodos: (a) Por cálculo direto, (b) Mediante o terorema de Stokes:
e
é o triânglo com vértice
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
onde
e
é o triângulo fechado com vértices
,
,
. Vamos usar dois métodos: (a) cálculo direto por parametrizações de cada lado do triângulo; (b) aplicação do teorema de Stokes, integrando a curvatura rotacional
sobre a face triangular.
Passo 2
Cálculo direto. Dividimos
em três arestas orientadas ciclicamente:
- Aresta de
a :
, .
Então
Logo
e
- Aresta de
a :
, .
Assim
Então
e
- Aresta de
a :
, .
Logo
Então
e
Somando as três contribuições:
Passo 3
Aplicação do teorema de Stokes. Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Escolhemos como superfície
o triângulo no plano
. Uma parametrização é
Temos
e o vetor normal orientado é
Pelo teorema de Stokes,
Isso dá
Substituindo
,
,
e integrando sobre a região
,
,
, obtém-se
após desenvolvimento algébrico e cálculo direto.