Calcule as derivadas das funções dadas.
y=x sec (x^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y = x secl(x^2+1r)
Aqui vamos usar a regra do produto (para xcdotsec(cdot)) e a regra da cadeia (para sec(x^2+1)).

Passo 2

Separemos em duas funções:
f(x) = x, g(x) = secl(u(x)r), onde u(x)=x^2+1
Assim, y = f(x),g(x). Para a regra do produto precisamos de f'(x) e g'(x).

Passo 3

Derivada de f:
f'(x) = ddxl(xr)=1
Agora calculamos u'(x) e em seguida g'(x).
u'(x)=ddxl(x^2+1r)=2x
Para sec(u) a derivada é sec(u)tan(u)cdot u', ou seja,
g'(x) = ddxl[secl(u(x)r)r] = secl(u(x)r),tanl(u(x)r),u'(x) = secl(x^2+1r),tanl(x^2+1r)cdot(2x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Substituindo:
y' = 1cdot secl(x^2+1r) ;+; x;l[2x,secl(x^2+1r),tanl(x^2+1r)r]

Passo 5

Fatorando sec(x^2+1), fica mais enxuto:
y' = secl(x^2+1r)l[1 + 2x^2,tanl(x^2+1r)r]

Resposta

y' = secl(x^2+1r) + 2x^2,secl(x^2+1r),tanl(x^2+1r) ou y' = secl(x^2+1r)l[1 + 2x^2,tanl(x^2+1r)r]

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