Calcule as derivadas das funções dadas nos exercícios 1 a 18.
f(x)=(x^4-1)^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = (x^4 - 1)^5 . Isso está relacionado a Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa regra que nos ajuda a diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam uma composição. Aqui, temos uma função externa u^5 onde u = x^4 - 1 . A Regra da Cadeia diz que a derivada de f(u) em relação a x é f'(u) cdot u' .

Passo 3

Vamos diferenciar a função externa em relação a u . Se f(u) = u^5 , então f'(u) = 5u^4 .

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a função interna u = x^4 - 1 em relação a x . A derivada de x^4 é 4x^3 e a derivada de uma constante é 0. Então, u' = 4x^3 .

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos f'(u) por u' :
f'(x) = 5u^4 cdot 4x^3 = 20x^3(x^4 - 1)^4

Resposta

A derivada da função é f'(x) = 20x^3(x^4 - 1)^4 .

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